Considere o seguinte clássico problema sobre sequências:
Problema 1. Seja $\{z_n\}$ uma sequência convergente de números reais com $\lim_{n\to\infty} z_n = z$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_n}{n} = z.$$
Neste post, mostraremos um resultado mais geral do que o do Problema 1 devido a Otto Toeplitz (figura abaixo), um matemático alemão que viveu entre as décadas de 1880 e 1940.
Teorema 1. (Toeplitz) Sejam $\{\alpha_{mn}\}$ uma sequência dupla de números complexos e $A>0$ um número real positivo tais que
Se a sequência de números complexos $\{z_n\}$ converge para $z$, então a série $$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n$$ converge para todo $m\geq1$ e temos que
- $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_{mn}| \leq A}$, para todo $m\geq1$.
- $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} = 1}$.
- $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \alpha_{mn} = 0}$, para todo $n\geq1$.
$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n = z.$$
