Jules Henri Poincaré foi um dos mais brilhantes matemático do século XIX (e início do século XX). Considerado por muitos como o último universalista da matemática, devido a sua proeza de conseguir estudar "quase toda" área da matemática. Deixou inúmeros legados em diversas áreas tanto da matemática pura quanto da matemática aplicada.
O teorema que veremos neste post é um dos resultados clássicos em Teoria Ergódica conhecido como Teorema da Recorrência de Poincaré. Minha principal referência é o livro [1], mas indico o livro [2] para um aprofundamento na teoria. Indico também o texto [3] de Ricardo Mañé para algumas aplicações interessantes do teorema.
Considere um espaço de medida finita $(M,\Sigma, \mu)$. Dada uma aplicação mensurável $f:M\rightarrow M$, dizemos que $\mu$ é invariante pela aplicação $f$ se para todo $E\in \Sigma$ mensurável vale que
O teorema que veremos neste post é um dos resultados clássicos em Teoria Ergódica conhecido como Teorema da Recorrência de Poincaré. Minha principal referência é o livro [1], mas indico o livro [2] para um aprofundamento na teoria. Indico também o texto [3] de Ricardo Mañé para algumas aplicações interessantes do teorema.
Considere um espaço de medida finita $(M,\Sigma, \mu)$. Dada uma aplicação mensurável $f:M\rightarrow M$, dizemos que $\mu$ é invariante pela aplicação $f$ se para todo $E\in \Sigma$ mensurável vale que
$$\mu(E) = \mu(f^{-1}(E)). $$
Dada uma propriedade sobre os elementos de $M$, por exemplo "beleza", dizemos que " $\mu$-quase todo" elementos de $M$ possuem esta propriedade quando o conjunto dos elementos que não possuem esta propriedade possuem medida nula, i.e., quando $\mu(\{x \in M: \text{ $x$ não é belo}\}) = 0$.
Vale ressaltar que dado $\{ E_k \}_{k\in \mathbb{N}}$ uma família enumerável de conjuntos mensuráveis disjuntos dois-a-dois, sendo $(M,\Sigma, \mu)$ um espaço de medida, temos que
$$ \mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k).$$
Com isso, já podemos enunciar e provar o
Dada uma propriedade sobre os elementos de $M$, por exemplo "beleza", dizemos que " $\mu$-quase todo" elementos de $M$ possuem esta propriedade quando o conjunto dos elementos que não possuem esta propriedade possuem medida nula, i.e., quando $\mu(\{x \in M: \text{ $x$ não é belo}\}) = 0$.
Vale ressaltar que dado $\{ E_k \}_{k\in \mathbb{N}}$ uma família enumerável de conjuntos mensuráveis disjuntos dois-a-dois, sendo $(M,\Sigma, \mu)$ um espaço de medida, temos que
$$ \mu \left( \bigcup_{k=1}^{\infty} E_k \right) = \sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k).$$
Com isso, já podemos enunciar e provar o
Teorema (da Recorrência de Poincaré). Seja $f: M \rightarrow M$ uma transformação mensurável e $\mu$ uma medida invariante e finita. Seja $E\subseteq M$ qualquer conjunto mensurável com $\mu(E)>0$. Então, $\mu$-quase todo ponto $x\in E$ tem algum iterado $f^n (x)$, com $n\geq 1$, que também está em $E$.
Em outras palavras, o teorema afirma que quase todo ponto de $E$ regressa a $E$ no futuro. A prova deste teorema até que é simples.
