Teorema de Dirichlet.

Ontem assisti uma palestra que o professor Carlos Gustavo (Gugu), do IMPA, apresentou na minha universidade. O tema era "Números Típicos e Aproximações Diofantinas". O ponto de partida da palestra foi o famoso teorema de Dirichlet sobre aproximações diofantinas e o teorema de Hurwitz, que é uma versão mais forte do teorema de Dirichlet. Naquele momento, me lembrei de como uma das provas do teorema de Dirichlet tratava-se de uma das mais belas aplicações do princípio da casa dos pombos que eu já tinha visto. Aliás, costuma-se dizer que foi Dirichlet quem primeiro aplicou o princípio da casa dos pombos de maneira eficiente (seja lá o que isto significa).

Neste post, veremos a prova via princípio da casa dos pombos do teorema de Dirichlet:

Teorema de Dirichlet. Seja $\alpha$ um número irracional. Existem infinitos números racionais $p/q$ tais que
$$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}.$$

Em particular, temos que o conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ é denso na reta bem como o conjunto $\mathbb{Z}[\alpha]$ dos números do tipo $m + n\alpha$, com $m,n$ inteiros, para qualquer $\alpha$ irracional (isto deverá seguir da prova do teorema).

Demonstração do teorema. Usaremos a notação $\lfloor x \rfloor$ para indicar o maior inteiro menor do que ou igual a $x$ e $\{x \} = x - \lfloor x \rfloor$ para indicar a parte fracionária de $x$.

Seja $N$ um número natural. Considere os seguintes $N$ intervalos que particionam o intervalo $[0,1)$
$$\left[ 0,\frac{1}{N}\right),\left[\frac{1}{N},\frac{2}{N}\right),\left[\frac{2}{N},\frac{3}{N}\right), \ldots , \left[ \frac{N-1}{N},1\right).$$

Uma vez que os $N+1$ números
$$ 0,\{\alpha\},\{2\alpha\},\ldots, \{N\alpha\} $$
pertencem todos ao intervalo $[0,1)$, pelo princípio da casa dos pombos, um dos $N$ intervalos acima contem dois dos $N+1$ números acima. Digamos que os tais dois números são $\{i\alpha\}$ e $\{j\alpha\}$, com $i<j$. Temos, portanto, que
$$ |\{j\alpha\} - \{i \alpha \}| < \frac{1}{N} \Leftrightarrow | (j\alpha - \lfloor {j\alpha} \rfloor ) - (i \alpha -\lfloor i\alpha \rfloor )| < \frac{1}{N} $$
$$\Leftrightarrow |(j-i)\alpha - (\lfloor {j\alpha} \rfloor -\lfloor i\alpha \rfloor)| < \frac{1}{N} . $$

Seja $q = j-i$ e $p = \lfloor j\alpha \rfloor - \lfloor i \alpha \rfloor$. Logo
$$|q\alpha - p| <\frac{1}{N} \Rightarrow \left|\alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{Nq} \leq \frac{1}{q^2},$$
onde na última desigualdade usamos o fato de que $N \geq q$. Isto conclui a existência de ao menos um racional como no enunciado.


Observe que o fato de existirem infinito racionais como no enunciado, segue do fato de podermos tomar $N$ tão grande quanto desejarmos. De fato, se considerarmos $N_1$, obtemos um racional $r_1 = p_1/q_1$ tal que
$$\left|\alpha - \frac{p_1}{q_1} \right| < \frac{1}{N_1q_1} \leq \frac{1}{{q_1}^2}$$

Agora, tomamos $N_2 > N_1$ tal que
$$\frac{1}{N_2} <\left|\alpha - \frac{p_1}{q_1} \right| .$$

Obtemos assim $r_2 = p_2/q_2$ um racional associado $N_2$ tal que
$$\left|\alpha - \frac{p_2}{q_2} \right| < \frac{1}{N_2q_2} \leq \frac{1}{{q_2}^2}.$$

Segue da escolha de $N_2$ que $r_2\neq r_1$, pois $r_2$ é uma melhor aproximação de $\alpha$ do que $r_1$, já que
$$\left|\alpha - \frac{p_2}{q_2} \right| < \frac{1}{N_2q_2} \leq \frac{1}{N_2} < \left|\alpha - \frac{p_1}{q_1} \right|.$$


Repetindo esse processo, obtemos uma sequência de inteiros $N_1 < N_2 < N_3 <\cdots $ e uma sequência de números racionais $r_i = q_i/p_i$ tais que
$$\left|\alpha - \frac{p_i}{q_i} \right| < \frac{1}{N_i{q_i}}\leq  \frac{1}{{q_i}^2}$$
com $|\alpha - r_i| \leq 1/N_i$, e que aproximam $\alpha$ cada vez melhor, i.e.,
$$|\alpha - r_1| > |\alpha - r_2| > |\alpha - r_3| > \cdots $$

Isto conclui o teorema de Dirichlet. $\square$

Veja que a sequência $(r_i)$ de números racionais construída na prova converge para $\alpha$. Em outras palavras,

Corolário 1. O conjunto do números racionais é denso na reta.

Dos argumentos usados na prova, também podemos extrair o seguinte

Corolário 2. Para todo $\alpha$ irracional, o conjunto $\mathbb{Z}[\alpha] = \{m + n\alpha;\; m,n\in\mathbb{Z}\}$ é denso na reta.

Demonstração. Dados $\beta\in\mathbb{R}$ e $\epsilon >0$, queremos determinar $x \in\mathbb{Z}[\alpha]$ tal que $|\beta - x| < \epsilon$.

Seja $N > {1}/{\epsilon}$ um inteiro. Da prova do teorema de Dirichlet, sabemos que existem $p$ e $q$ inteiros tais que
$$|q\alpha - p| < \frac{1}{N} < \epsilon.$$
Uma vez que $r = q\alpha - p \neq 0$, pois $\alpha$ é irracional, podemos escolher $M$ inteiro tal que
$$ M \leq \frac{\beta}{r} < M+1.$$
Basta tomar $M = \lfloor \beta/r \rfloor$. Agora considere $x = Mr \in \mathbb{Z}[\alpha]$. Temos que
$$ |\beta - x| = |\beta - Mr | < |(M+1)r - Mr| = |r| < \frac{1}{N} < \epsilon,$$
como queríamos. $\square$