Três massas e três molas sobre um aro.

Neste post, veremos um problema que pode ser encontrado na referência [1]. Trata-se de uma aplicação da equação de Euler-Lagrange.

Problema. (Columbia, Stony Brook, MIT) Três esferas, cada uma de massa $m$, estão conectadas por molas idênticas de massas desprezíveis e de constante de elasticidade $k$ e postas sobre um aro circular como na figura abaixo. O aro está fixado no espaço. Despreze a gravidade e a fricção. Este sistema deve sofrer uma pertubação. Determine a frequência de oscilação do sistema.

Aplicações da Equação de Euler-Lagrange: pêndulo com suporte livre.

O formalismo Lagrangiano tem permitido a determinação da equação do movimento de muitos sistemas físicos de maneira menos trabalhosa do que o formalismo Newtoniano. Neste post veremos mais uma aplicação da equação de Euler-Lagrange.

Considere o sistema constituído de um pêndulo simples de massa $m$ e corda de comprimento $l$ pendurada em um suporte com massa $M$ e que é livre de se mover ao longo do eixo horizontal (veja figura abaixo). O ângulo $\theta$ entre a corda e o eixo vertical junto da posição $x$ do suporte ao longo do eixo horizontal determinam completamente a posição do sistema, de modo que o par $(\theta,x)$ é uma coordenada generalizada adequada para o sistema.

Aplicações da Equação de Euler-Lagrange: sistema barra-mola.

No último post falei sobre a Equação de Euler-Lagrange. Neste post darei um exemplo onde aplicamos a equação de Euler-Lagrange para determinar a equação do movimento de um sistema físico.

No esquema da figura abaixo, vemos uma barra homogênea de massa $m$ e comprimento $l$ pendurada numa mola suspensa de constante de elasticidade $k$. A mola está no interior de uma calha de altura $l_0$ de modo a evitar qualquer movimento que não seja vertical. A barra pode oscilar em torno do ponto $A$.

Sobre Mecânica Lagrangiana e a Equação de Euler-Lagrange.

Mecânica Lagrangiana é uma reformulação da mecânica clássica baseado no princípio da ação estacionária de Hamilton. Tal formalismo tem se mostrado mais adequado do que o formalismo Newtoniano quando aplicado em problemas mais complexos, uma vez que ele não exige a identificação das forças envolvidas no sistema.

Neste post veremos como o método Lagrangiano pode se aplicado de modo a determinar a equação do movimento de sistemas físicos. 

Um sistema de coordenadas generalizadas é um conjunto de parâmetros $q_1,q_2,\ldots,q_s$ pelos os quais é possível determinar completamente a posição de um sistema. Dizemos que $s$ é o grau de liberdade do sistema. Por exemplo, uma partícula se movendo ao longo de um toro pode ter sua posição determinada por dois parâmetros (como?). Um pêndulo pode ser determinado por um único parâmetro, o ângulo com o qual ele faz com um eixo fixo.