Sobre Mecânica Lagrangiana e a Equação de Euler-Lagrange.

Mecânica Lagrangiana é uma reformulação da mecânica clássica baseado no princípio da ação estacionária de Hamilton. Tal formalismo tem se mostrado mais adequado do que o formalismo Newtoniano quando aplicado em problemas mais complexos, uma vez que ele não exige a identificação das forças envolvidas no sistema.

Neste post veremos como o método Lagrangiano pode se aplicado de modo a determinar a equação do movimento de sistemas físicos. 

Um sistema de coordenadas generalizadas é um conjunto de parâmetros $q_1,q_2,\ldots,q_s$ pelos os quais é possível determinar completamente a posição de um sistema. Dizemos que $s$ é o grau de liberdade do sistema. Por exemplo, uma partícula se movendo ao longo de um toro pode ter sua posição determinada por dois parâmetros (como?). Um pêndulo pode ser determinado por um único parâmetro, o ângulo com o qual ele faz com um eixo fixo.

Dado um sistema de partículas junto de suas coordenadas generalizadas $q(t) = (q_1(t),q_2(t)_,\ldots,q_s(t))$ parametrizadas pelo tempo e suas derivadas temporais $\dot{q}(t) = (\dot{q}_1(t),\dot{q}_2(t),\ldots,\dot{q}_s(t))$, definimos a Lagrangiana do sistema como a função $\mathcal{L} := \mathcal{L} (q(t),\dot{q}(t))$ dada por

$$ \mathcal{L} = T - U, $$

onde $T$ é a energia cinética e  $U$ é a energia potencial do sistema.

Associada ao sistema de coordenadas generalizadas $q = (q_1(t),q_2(t)_,\ldots,q_s(t))$, definimos a ação do sistema como o funcional 

$$ S(q) = \int_{t_0}^{t_1} \mathcal{L}(q(t),\dot{q}(t)) dt. $$

O princípio da ação estacionária de Hamilton afirma que o sistema deverá percorrer, dentre todos os caminhos que conectam $t_0$ até $t_1$, aquele que minimize a ação. 

Pode-se mostrar que o princípio de Hamilton implica na seguinte equação conhecida como equação de Euler-Lagrange:

$$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{q}_i} \right)  - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{q_i}} = 0, \quad (i = 1,\ldots, s)$$
válida para sistemas conservativos.

A equação de Euler-Lagrange é muito útil quando queremos determinar a equação do movimento de um sistema conhecendo o seu Lagrangiano.

Nos próximos posts, daremos alguns exemplos para ilustrar como equação de Euler-Lagrange pode ser usada para determinar a equação do movimento de um sistema.


Referências.
[1] Landau, L. D.  Lifshitz, E. M. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1976.
[2] Nivaldo A. Lemos. Mecânica Analítica. 2ed. Livraria da Física. 2007.