Sobre o teorema de Ceva e o de Menelau.

Neste post, provarei dois teoremas importantes em geometria: o de Ceva e o de Menelau. Os dois teoremas  possuem similaridades, mas um fala de concorrência, enquanto o outro fala de colinearidade. 

Teorema de Ceva. Seja ABC um triângulo qualquer e D, E e F pontos sobre os lados BC, CA e BC, respectivamente. Os seguimentos AD, BE e CF são concorrentes se, e somente se, $$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = 1.$$

Demonstração. A prova deste teorema se baseia no seguinte fato:

A área de triângulos de mesma altura é proporcional a base dos triângulos.

Suponhas que AD, BE e CF são concorrentes. Referindo-se a figura acima, temos que

$$\frac{AF}{FB} = \frac{|AFC|}{|FBC|} = \frac{|AFO|}{|FBO|}.$$

Portanto,

$$\frac{AF}{FB} =  \frac{|AFC|-|AFO|}{|FBC|-|FBO|} = \frac{|AOC|}{|BOC|}.$$

Similarmente, obtemos que

$$\frac{BD}{DC} =\frac{|BOA|}{|COA|}\quad \text{e} \quad \frac{CE}{EA} = \frac{|COB|}{|AOB|}. $$

Agora, multiplicando estas frações, obtemos que

$$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = \frac{|AOC|}{|BOC|} \frac{|BOA|}{|COA|} \frac{|COB|}{|AOB|} =  1,$$

como queríamos.

Para mostrar a recíproca, considere O como o ponto de interseção dos segmentos AD e BE e seja F' o ponto de interseção da reta CO com a reta AB e suponha que $$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = 1.$$

Por outro lado, como AD, BE e CF' concorrem em O, a parte já provada do teorema nos dá que

$$\frac{AF'}{F'B}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = 1.$$

Comparando estas duas últimas equações, temos que

$$\frac{AF}{FB} = \frac{AF'}{F'B}.$$

Ora, isto é equivalente a

$$\frac{AF}{FB}+1 = \frac{AF'}{F'B}+1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{AF}{FB} +\frac{FB}{FB} = \frac{AF'}{F'B} + \frac{F'B}{F'B}$$

$$\Leftrightarrow\frac{AF+FB}{FB} = \frac{AF'+ F'B}{F'B}$$

$$\Leftrightarrow\frac{AB}{FB} = \frac{AB}{F'B}$$

$$\Leftrightarrow FB = F'B $$

Isto é, B e B' são os mesmo pontos. Logo AD, BE e CF concorrem.

$\square$

Vale observar que este teorema continua válido se pegarmos os pontos D, E e F nas retas estendidas dos lados BC, CA e AB, respectivamente. E a prova é similar.

Como aplicações imediatas deste teorema, temos o seguinte

Corolário 1. 

I. As medianas de um triângulo se intersectam num único ponto (centro).

II. Os ângulos bissetores de um triângulo se intersectam num único ponto (incentro).

III. As alturas de um triângulo se intersectam num único ponto (ortocentro).

O leitor não deverá ter muita dificuldade em provar estas afirmações e o seguinte

Corolário 2. (Ponto de Gergonne) Sejam D, E e F os pontos onde o círculo inscrito tocam os lados do triângulo ABC.  Então os segmentos AD, BE e CF se intersectam num único ponto, o ponto de Gergonne (em homenagem ao matemático francês Joseph Diaz Gergonne [1771-1859]) 

Por fim, uma bela aplicação do Teorema de Ceva é dado sem muito uso de palavras [1]:

Corolário 3. Dado três círculos mutualmente não intersectantes, conecte as interseções das tangentes internas comuns de cada par de círculo com o centro do outro círculo. Então os três segmentos resultantes são concorrentes.

$\square$

Agora vamos ao Teorema de Menelau.

Teorema de Menelau.   Seja ABC um triângulo qualquer e D, E e F pontos sobre os lados (estendidos) BC, CA e BC, respectivamente. Os pontos E, D e F são colineares se, e somente se, $$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = -1.$$

Obs.: O sinal negativo no teorema acima é relativo ao comprimento de segmento orientado. i.e., AB = -BA, e similarmente para quaisquer outros pontos. Em particular AF/FB é positivo quando F está entre A e B, e é negativo caso contrário.

Demonstração. Suponha que E, D e F são colineares e denote por $r$ a reta determinada por eles. Construa $h_A$, $h_B$ e $h_C$ como os seguimentos perpendiculares a $r$ com extremidade em A, B e C, respectivamente. Por semelhança de triângulos, temos que

$$ \frac{AF}{FB} = \frac{h_A}{-h_B}$$

$$\frac{BD}{DC} = \frac{h_B}{h_C}$$

$$\frac{CE}{EA} = \frac{h_C}{h_A}$$

Daí segue que o produto destas frações dá $-1$.

Reciprocamente, suponha que $$\frac{AF}{FB}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = -1.$$ Considere $F'$ como o ponto de interseção entre o lado estendido AB e a reta passando por D e E. Pela primeira parte do teorema, temos que

$$\frac{AF'}{F'B}\frac{BD}{DC}\frac{CE}{EA} = -1.$$

E argumentando analogamente ao Teorema de Ceva, temos que F = F'. Logo D, E e F são colineares.

$\square$

Referências.

[1] Roger B. Nelsen. Proofs without words 2. More exercises in visual thinking. MMA, 2000.