Teorema de Dirichlet.

Ontem assisti uma palestra que o professor Carlos Gustavo (Gugu), do IMPA, apresentou na minha universidade. O tema era "Números Típicos e Aproximações Diofantinas". O ponto de partida da palestra foi o famoso teorema de Dirichlet sobre aproximações diofantinas e o teorema de Hurwitz, que é uma versão mais forte do teorema de Dirichlet. Naquele momento, me lembrei de como uma das provas do teorema de Dirichlet tratava-se de uma das mais belas aplicações do princípio da casa dos pombos que eu já tinha visto. Aliás, costuma-se dizer que foi Dirichlet quem primeiro aplicou o princípio da casa dos pombos de maneira eficiente (seja lá o que isto significa).

Neste post, veremos a prova via princípio da casa dos pombos do teorema de Dirichlet:

Teorema de Dirichlet. Seja $\alpha$ um número irracional. Existem infinitos números racionais $p/q$ tais que
$$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}.$$

Em particular, temos que o conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ é denso na reta bem como o conjunto $\mathbb{Z}[\alpha]$ dos números do tipo $m + n\alpha$, com $m,n$ inteiros, para qualquer $\alpha$ irracional (isto deverá seguir da prova do teorema).

Teorema de Toeplitz e aplicações.

Considere o seguinte clássico problema sobre sequências:

Problema 1. Seja $\{z_n\}$ uma sequência convergente de números reais com $\lim_{n\to\infty} z_n = z$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_n}{n} = z.$$

Neste post, mostraremos um resultado mais geral do que o do Problema 1 devido a Otto Toeplitz (figura abaixo), um matemático alemão que viveu entre as décadas de 1880 e 1940.

Teorema 1. (Toeplitz) Sejam $\{\alpha_{mn}\}$ uma sequência dupla de números complexos e $A>0$ um número real positivo tais que

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_{mn}| \leq A}$, para todo $m\geq1$.
2. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} = 1}$.
3. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \alpha_{mn} = 0}$, para todo $n\geq1$.

Se a sequência de números complexos $\{z_n\}$ converge para $z$, então a série $$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n$$ converge para todo $m\geq1$ e temos que
$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n = z.$$

Teorema da Aproximação de Weierstrass.

Neste post, apresentarei uma prova do Teorema da Aproximação de Weierstrass usando um argumento probabilístico. Mais precisamente, tal argumento será embasado no seguinte

Lema. (Desigualdade de Chebyshev) Sejam $X$ uma variável aleatória, $\mu = \mathbf{E}[X]$ o valor esperado de $X$ e $\sigma^2 = \mathbf{Var}[X]$ a variância de $X$. Então, para $\lambda > 0$,

$$ \mathbf{Pr}[| X - \mu | \geq \lambda] \leq \frac{\sigma^2}{\lambda^2}.$$

Observe que se  $X$ possui distribuição binomial $\mathbf{Bin}(n,p)$, então $\mu = np$ e $\sigma = np(1-p)$. Se tomarmos $\lambda = n^{2/3}$ na desigualdade de Chebyshev, obtemos 

$$ \mathbf{Pr}[| X - np | \geq n^{2/3}] \leq \frac{np(1-p)}{n^{4/3}} \leq n^{-1/3},$$

que tende para zero, quando $n \to \infty$. Esta observação será crucial para a prova do

Teorema da aproximação de Weierstrass. Seja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua. Para todo $\epsilon >0$, existe um polinômio $p(x)$ tal que $$|f(x) - p(x)|<\epsilon, \quad \forall x \in [a,b].$$ 

Outra maneira de enunciar o teorema acima é a seguinte: para qualquer função contínua  $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, existe uma sequência de polinômios $(p_n)$ que convergem uniformemente para $f$.

O teorema é originalmente atribuído a Karl Weierstrass (imagem abaixo), quem deu uma primeira demonstração em 1885 usando o que hoje chamamos de transformações de Weierstrass. Mais tarde, Marshall Stone generalizou o teorema e apresentou uma versão simplificada da prova de Weierstrass. Assim, o teorema é também conhecido como Teorema de Stone-Weierstrass. Hoje, podemos encontrar diversas provas deste resultado. Eu, pelo menos, conheço cinco versões essencialmente distintas: uma versão utilizando as transformações de Weierstras [2]; outra usando o teorema de Fejér [3]; outra usando os núcleos de Landau [4]; uma totalmente elementar [5]; e uma usando argumentos probabilísticos (que pode ser encontrada em [1]) , que é a que será dada aqui (e a que dentre as cinco citadas, é a minha preferida).

Média aritmética-geométrica e a curva lemniscata.

Considere o seguinte problema que pode ser encontrado na maioria dos livros introdutórios de Análise Real: 

Seja $0 < a < b$ dois números reais. Defina as sequências $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ e $(b_n)_{n\in\mathbb{N}}$ por $a_1 = a$, $b_1 = b$ e 

$$ a_{n+1} = \sqrt{a_n b_n} \quad \text{ e }\quad b_{n+1} = \frac{a_n + b_n}{2}, \quad (n = 1,2,3, \ldots).$$

Prove que estas duas sequências são convergentes e que elas convergem para o mesmo valor.

Este limite comum é o que chamamos de média aritmética-geométrica de $a$ e $b$ e é denotado por $M(a,b)$. Dados $a$ e $b$ quaisquer, em geral, não é fácil calcular $M(a,b)$. Em 30 de Maio de 1799, na idade de vinte e dois anos, Gauss (foto abaixo) escreveu em seu diário, que tinha verificado que a aproximação

$$\frac{1}{M(1,\sqrt{2})} \approx \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^4}} \;dt $$

é precisa, pelo menos até a décima primeira casa decimal.

Considere $\omega$ como o valor da integral na equação acima, i.e.,

$$\omega =  \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-t^4}} \;dt.$$

Então, o que o Gauss conjecturou foi que 

$$ M(1,\sqrt{2}) = \frac{\pi}{2\omega}.$$

Aparentemente, fora o fato de envolver o $\pi$ e a $\sqrt{2}$, esta última equação não tem nada de mais. Mas ela esconde uma relação geométrica intrigante relacionada com duas curvas famosas.

Sobre uma identidade de Ramanujan.

O matemático indiano, Srinivasa Ramanujan (foto abaixo), propôs uma vez, no Journal of Indian Mathematical Society, o seguinte problema:

Determinar o valor de $$\sqrt{ 1 + 2\sqrt{ 1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{ 1 + 5\sqrt{1 + \cdots}}}}}.$$

Ele esperou por seis meses que alguém lhe enviasse uma solução. Como ninguém enviou, ele publicou a sua própria solução [1].

Neste post, daremos uma prova analítica de que  $$\sqrt{ 1 + 2\sqrt{ 1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{ 1 + 5\sqrt{1 + \cdots}}}}} = 3.$$