Aplicações da Equação de Euler-Lagrange: pêndulo com suporte livre.

O formalismo Lagrangiano tem permitido a determinação da equação do movimento de muitos sistemas físicos de maneira menos trabalhosa do que o formalismo Newtoniano. Neste post veremos mais uma aplicação da equação de Euler-Lagrange.

Considere o sistema constituído de um pêndulo simples de massa $m$ e corda de comprimento $l$ pendurada em um suporte com massa $M$ e que é livre de se mover ao longo do eixo horizontal (veja figura abaixo). O ângulo $\theta$ entre a corda e o eixo vertical junto da posição $x$ do suporte ao longo do eixo horizontal determinam completamente a posição do sistema, de modo que o par $(\theta,x)$ é uma coordenada generalizada adequada para o sistema.

Seja $\mathbf{r} = (x_{pend},y_{pend})$ a posição do pêndulo. A energia cinética do sistema é então dada por
$$ T = \frac{M \dot{x}^2}{2} + \frac{m \dot{\mathbf{r}}^2}{2} =   \frac{M \dot{x}^2}{2} + \frac{m (\dot{x}_{pend}^2 + \dot{y}_{pend}^2)}{2}. $$

Como $x_{pend} = x + l\sin\theta$ e $y_{pend} = l\cos\theta$, temos
$$ T =  \frac{M \dot{x}^2}{2} + \frac{m}{2}\left[ \left(\dot{x}+l\dot{\theta}\cos\theta \right)^2 + \left( l\dot{\theta}\sin\theta \right)^2 \right]. $$

A energia potencial é dada por
$$ U = mgy_{pend} =-mgl\cos\theta. $$

Portanto, o Lagrangiano é dado por
$$ \mathcal{L} = T - U =  \frac{M \dot{x}^2}{2} + \frac{m}{2}\left[ \left(\dot{x}+l\dot{\theta}\cos\theta \right)^2 + \left( l\dot{\theta}\sin\theta \right)^2 \right] + mgl\cos\theta  $$

$$ = \frac{M+m}{2} \dot{x}^2 + \frac{ml^2}{2}\dot{\theta}^2 + ml(\dot{x}\dot{\theta}+g)\cos\theta $$

Aplicando a equação de Euler-Lagrange para $x$, temos
$$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}} \right)  - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{x}} = 0$$
$$\Longrightarrow \frac{d}{dt}\left[ (M+m)\dot{x} + m\dot{\theta}l\cos\theta \right]   = 0,$$
que se reduz a
$$ (M+m)\ddot{x} + m\ddot{\theta}l\cos\theta  -  m\dot{\theta}^2l\sin\theta = 0.$$

Aplicando a equação de Euler-Lagrange para $\theta$, temos
$$\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{\theta}} \right)  - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial{\theta}} = 0$$
$$\Longrightarrow \frac{d}{dt}\left[ ml^2\dot{\theta} + m\dot{x}l\cos\theta \right] + ml(\dot{x}\dot{\theta} +g)\sin\theta     = 0,$$
que se reduz a
$$ ml^2\ddot{\theta} + m\ddot{x}l\cos\theta - m\dot{x}\dot{\theta}l\sin\theta + ml(\dot{x}\dot{\theta} +g)\sin\theta     = 0,$$
$$ \Longrightarrow l\ddot{\theta}+ \ddot{x}\cos\theta + g\sin\theta     = 0.$$

Portanto, a equação do movimento do sistema físico é dada pelo seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:

$$\left\{\begin{array}{l} \ddot{x}(M+m) + \ddot{\theta}ml\cos\theta  -  \dot{\theta}^2ml\sin\theta = 0 \hbox{;} \\ \ddot{x}\cos\theta + \ddot{\theta}l + g\sin\theta     = 0 \hbox{.} \end{array}\right. $$

O qual não é nem um pouco fácil de resolver. Contudo, se fôssemos tentar encontrar tais equações pelo formalismo Newtoniano, teríamos bem mais dificuldades, uma vez que seria necessário trabalhar com as forças envolvidas no sistema.


Referências.
[1] Landau, L. D.  Lifshitz, E. M. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1976.
[2] Nivaldo A. Lemos. Mecânica Analítica. 2ed. Livraria da Física. 2007.