Três massas e três molas sobre um aro.

Neste post, veremos um problema que pode ser encontrado na referência [1]. Trata-se de uma aplicação da equação de Euler-Lagrange.

Problema. (Columbia, Stony Brook, MIT) Três esferas, cada uma de massa $m$, estão conectadas por molas idênticas de massas desprezíveis e de constante de elasticidade $k$ e postas sobre um aro circular como na figura abaixo. O aro está fixado no espaço. Despreze a gravidade e a fricção. Este sistema deve sofrer uma pertubação. Determine a frequência de oscilação do sistema.

Solução. Enumere cada uma das três massas como 1,2 e 3. Considere $x_i$ como o deslocamento do ponto de equilíbrio da massa $i$ (veja figura abaixo), de modo que a tripla $(x_1,x_2,x_3)$ é um a coordenada generalizada para o o sistema em questão. 

O Lagrangiano do sistema $\mathcal{L} := \mathcal{L}(x_1, x_2, x_3, \dot{x}_1, \dot{x}_2, \dot{x}_3, t)$  é então dado por

$$\mathcal{L} = T - V,$$

onde $T$ é a energia cinética do sistema e $V$ é a energia potencial. De modo que temos que

$$ T = \frac{m \dot{x_1}^2}{2}+ \frac{m \dot{x_2}^2}{2} +\frac{m \dot{x_3}^2}{2}, $$

e temos também

$$ V = \frac{k(x_1-x_2)^2}{2} +  \frac{k(x_2-x_3)^2}{2} +  \frac{k(x_3-x_1)^2}{2}.$$

Portanto, 

$$ \mathcal{L} =  \frac{m}{2}\left(\dot{x_1}^2+ \dot{x_2}^2 +\dot{x_3}^2 \right) -  \frac{k}{2} \left[ (x_1-x_2)^2 + (x_2-x_3)^2 + (x_3-x_1)^2 \right]. $$

Agora, da equação de Euler-Lagrange,

$$ \frac{d}{dt}\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x_i}} \right) -\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0 , \quad (i=1,2,3) $$

as equações do movimento são da forma

$$ \ddot{x}_1 + \frac{2k}{m} x_1 - \frac{k}{m}(x_2+x_3) = 0 $$

$$ \ddot{x}_2 + \frac{2k}{m} x_2 - \frac{k}{m}(x_1+x_3) = 0 $$

$$ \ddot{x}_3 + \frac{2k}{m} x_3 - \frac{k}{m}(x_1+x_2) = 0 $$

Como de praxe, consideramos soluções da forma $x_j = A_j e^{i \omega t}$, $j=1,2,3$. Temos $\ddot{x}_j = -\omega^2 A_j e^{i \omega t}$. Daí, o sistema acima toma a seguinte forma

$$  -\omega^2 A_1 e^{i \omega t} + \frac{2k}{m}A_1 e^{i \omega t} - \frac{k}{m}(A_2 e^{i \omega t}+A_3 e^{i \omega t}) = 0 $$

$$ -\omega^2 A_2 e^{i \omega t} + \frac{2k}{m}A_2 e^{i \omega t} - \frac{k}{m}(A_1 e^{i \omega t}+A_3 e^{i \omega t}) = 0 $$

$$ -\omega^2 A_3 e^{i \omega t} + \frac{2k}{m} A_3 e^{i \omega t} - \frac{k}{m}(A_1 e^{i \omega t}+A_2 e^{i \omega t}) = 0 $$

De modo que, sendo $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ e $\lambda = \omega^2/\omega_0^2 $, temos

$$    (-\lambda + 2)A_1 - A_2 - A_3= 0 $$

$$  -A_1 + (-\lambda + 2)A_2 - A_3= 0 $$

$$  -A_1 - A_2 + (-\lambda + 2)A_3= 0 $$

ou, na forma matricial,

$$\left[  \begin{array}{ccc}    (-\lambda + 2) & -1 & -1 \\    -1 & (-\lambda + 2) & -1 \\    -1 & -1 & (-\lambda + 2)   \end{array}\right] \left[  \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \\ A_3  \end{array}\right] = \left[  \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right]$$

Agora, se o determinante da matriz $3 \times 3$ acima for não-nulo, então a matriz será invertível e teremos, então, a solução trivial $(A_1,A_2,A_3) = (0,0,0)$. Portanto, para assegurarmos a existência de uma solução não trivial, é necessário que o determinante da tal matriz seja nulo, i.e., que

$$\left|  \begin{array}{ccc}    (-\lambda + 2) & -1 & -1 \\    -1 & (-\lambda + 2) & -1 \\    -1 & -1 & (-\lambda + 2)   \end{array}\right|  = 0,$$

ou seja,
$$\lambda^3 - 6 \lambda^2 + 9 \lambda = \lambda(\lambda-3)^2 = 0. $$

Portanto, só existem dois possíveis valores para $\lambda$, a saber, $\lambda = 0$ ou $\lambda = 3$. No primeiro caso, temos $A_1 = A_2 = A_3$ e temos $\omega = 0$ e portanto $\dot{x}_1=\dot{x}_2=\dot{x}_3 = 0$. No segundo caso, temos $\omega = \sqrt{3} \omega_0 $ e temos $A_1 + A_2 + A_3 = 0$.

Conclusão: existem duas possíveis frequência de oscilação: $\omega = 0$, a qual corresponde ao sistema onde as massas se deslocam igualmente; $\omega = \sqrt{2}\omega_0$, a qual corresponde ao sistema onde as massas se deslocam de maneira justa.

Referências.

[1] Sidney B. Cahn, Boris E. Nadgorny. A Guide to Physics Problems, Part 1 - Mechanics, Relativity, and Electrodynamics.