O amigo dos números.

Feliz Natal!

Pensei em publicar um post sobre o tão celebrado teorema de Natal de Fermat (Fermat's Christmas Theorem, aquele sobre primos que se escrevem como somas de quadrados). Mas esse é um teorema muito bonito e merece uma preparação de minha parte. Em troca, irei postar aqui uma entrevista da revista Ciência Hoje com o especialista em teoria dos números, Paulo Ribenboim (foto abaixo), matemático brasileiro de maior renome internacional.

Teorema de Toeplitz e aplicações.

Considere o seguinte clássico problema sobre sequências:

Problema 1. Seja $\{z_n\}$ uma sequência convergente de números reais com $\lim_{n\to\infty} z_n = z$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_n}{n} = z.$$

Neste post, mostraremos um resultado mais geral do que o do Problema 1 devido a Otto Toeplitz (figura abaixo), um matemático alemão que viveu entre as décadas de 1880 e 1940.

Teorema 1. (Toeplitz) Sejam $\{\alpha_{mn}\}$ uma sequência dupla de números complexos e $A>0$ um número real positivo tais que

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_{mn}| \leq A}$, para todo $m\geq1$.
2. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} = 1}$.
3. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \alpha_{mn} = 0}$, para todo $n\geq1$.

Se a sequência de números complexos $\{z_n\}$ converge para $z$, então a série $$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n$$ converge para todo $m\geq1$ e temos que
$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n = z.$$

Teorema da Aproximação de Weierstrass.

Neste post, apresentarei uma prova do Teorema da Aproximação de Weierstrass usando um argumento probabilístico. Mais precisamente, tal argumento será embasado no seguinte

Lema. (Desigualdade de Chebyshev) Sejam $X$ uma variável aleatória, $\mu = \mathbf{E}[X]$ o valor esperado de $X$ e $\sigma^2 = \mathbf{Var}[X]$ a variância de $X$. Então, para $\lambda > 0$,

$$ \mathbf{Pr}[| X - \mu | \geq \lambda] \leq \frac{\sigma^2}{\lambda^2}.$$

Observe que se  $X$ possui distribuição binomial $\mathbf{Bin}(n,p)$, então $\mu = np$ e $\sigma = np(1-p)$. Se tomarmos $\lambda = n^{2/3}$ na desigualdade de Chebyshev, obtemos 

$$ \mathbf{Pr}[| X - np | \geq n^{2/3}] \leq \frac{np(1-p)}{n^{4/3}} \leq n^{-1/3},$$

que tende para zero, quando $n \to \infty$. Esta observação será crucial para a prova do

Teorema da aproximação de Weierstrass. Seja $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ uma função contínua. Para todo $\epsilon >0$, existe um polinômio $p(x)$ tal que $$|f(x) - p(x)|<\epsilon, \quad \forall x \in [a,b].$$ 

Outra maneira de enunciar o teorema acima é a seguinte: para qualquer função contínua  $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$, existe uma sequência de polinômios $(p_n)$ que convergem uniformemente para $f$.

O teorema é originalmente atribuído a Karl Weierstrass (imagem abaixo), quem deu uma primeira demonstração em 1885 usando o que hoje chamamos de transformações de Weierstrass. Mais tarde, Marshall Stone generalizou o teorema e apresentou uma versão simplificada da prova de Weierstrass. Assim, o teorema é também conhecido como Teorema de Stone-Weierstrass. Hoje, podemos encontrar diversas provas deste resultado. Eu, pelo menos, conheço cinco versões essencialmente distintas: uma versão utilizando as transformações de Weierstras [2]; outra usando o teorema de Fejér [3]; outra usando os núcleos de Landau [4]; uma totalmente elementar [5]; e uma usando argumentos probabilísticos (que pode ser encontrada em [1]) , que é a que será dada aqui (e a que dentre as cinco citadas, é a minha preferida).