Teorema de Toeplitz e aplicações.

Considere o seguinte clássico problema sobre sequências:

Problema 1. Seja $\{z_n\}$ uma sequência convergente de números reais com $\lim_{n\to\infty} z_n = z$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_n}{n} = z.$$

Neste post, mostraremos um resultado mais geral do que o do Problema 1 devido a Otto Toeplitz (figura abaixo), um matemático alemão que viveu entre as décadas de 1880 e 1940.

Teorema 1. (Toeplitz) Sejam $\{\alpha_{mn}\}$ uma sequência dupla de números complexos e $A>0$ um número real positivo tais que

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_{mn}| \leq A}$, para todo $m\geq1$.
2. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} = 1}$.
3. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \alpha_{mn} = 0}$, para todo $n\geq1$.

Se a sequência de números complexos $\{z_n\}$ converge para $z$, então a série $$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n$$ converge para todo $m\geq1$ e temos que
$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n = z.$$

Demonstração. Primeiro, como ${z_n}$ converge, segue que existe $L>0$ tal que $|z_n|<L$, para todo $n\geq 1$. Sendo assim, para todo $N>0$, temos que
$$\sum_{n=1}^{N} |\alpha_{mn} z_n| \leq L \sum_{n=1}^{N} |\alpha_{mn}| \leq LA,$$
onde, na última de desigualdade, usamos a propriedade 1. Logo a série $\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n$ converge (absolutamente), para todo $m\geq1$.

Dado $\epsilon >0$, tome $n_0 >0$ tal que
$$| z_n - z| \leq \frac{\epsilon}{2A},$$
para todo $n > n_0$. Tal escolha de $n_0$ pode ser feita, uma vez que $z_n$ converge para $z$. Pela propriedade 3, também podemos tomar $m_0 > 0$ tal que, para cada $n = 1,\ldots,n_0$ tenhamos
$$|\alpha_{mn}| < \frac{\epsilon}{4Ln_0},$$
para todo $m > m_0$.

Assim, para todo $m > m_0$, temos

$$\begin{array}{rcl} \displaystyle{\left| \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} (z_{n}-z) \right|} & \leq & \displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \left|\alpha_{mn}\right| \left| z_{n}-z \right| } \\  & = & \displaystyle{ \sum_{n=1}^{n_0} \left|\alpha_{mn}\right| \left| z_{n}-z \right| + \sum_{n=n_0+1}^{\infty} \left|\alpha_{mn}\right| \left| z_{n}-z \right|} \\  & \leq & \displaystyle{ 2L \sum_{n=1}^{n_0} \left|\alpha_{mn}\right| + \frac{\epsilon}{2A} \sum_{n=n_0+1}^{\infty} \left|\alpha_{mn}\right| } \\ & \leq & \displaystyle{ 2L n_0 \frac{\epsilon}{4Ln_0}+ \frac{\epsilon}{2A} A} = \epsilon.   \end{array}$$

Portanto
$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} (z_{n}-z) = 0.$$

Agora,
$$\begin{array}{rcl}  z & = & z \lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} \\ & = & \lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn}\; z + \lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn}(z_n - z) \\ & = & \lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_{n},  \end{array}$$
onde na primeira igualdade usamos a propriedade 2. Isto conclui a prova do teorema. $\square$

Com este resultado em mãos, podemos resolver o Problema 1 facilmente. Basta considerar $\alpha_{mn} = \frac{1}{m}$, para $n\leq m$ e $\alpha_{mn} = 0$ para os demais valores de $m$ e $n$. Em seguida, listarei alguns outros problemas interessantes que podem ser resolvidos usando o Teorema de Toeplitz.

Problema 2. Seja $\lim_{n\to\infty} a_n = a$ e $\lim_{n\to\infty} b_n = b$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_1 b_{n} + a_2 b_{n-1} + \ldots + a_n b_1}{n} = ab.$$

Problema 3. Prove que se $\lim_{n\to\infty} a_n = a$, então $$\lim_{n\to\infty} \frac{n a_1 + (n-1) a_2 + \ldots + 1 \cdot a_n}{n^2} = \frac{a}{2}.$$

Problema 4. Mostre que se uma sequência de números reais positivos $\{a_n\}$ converge para $a$, então $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \ldots a_n} = a.$$ [Dica: use a desigualdade entre as médias harmônica-geométrica-aritmética. Dica do leitor Rogerio Buarque (bem melhor do que a minha): aplique o logaritmo.]

Problema 5. Sejam $\{a_n\}$ uma sequência de números reais de limite $a$ e $\{b_n\}$ uma sequência de números positivos com $\lim_{n\to\infty}(b_1+b_2+\ldots+b_n) = +\infty$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + \ldots a_n b_n}{b_1 + b_2 + \ldots + b_n} = a.$$

Problema 6. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} \right)  = 2.$$

Boas festas!



Referências.

[1] W. J. Kaczor, M. T. Nowak. Problems in Mathematical Analysis I -- Real Numbers, Sequences and Series. Student Mathematical Library, Volume 4,  2000.