Provando várias vezes para se ter certeza.

Se Euclides sabia, então você certamente também sabe que 

Existe uma infinidade de números primos.

O primeiro a provar esta afirmação foi Euclides (figura abaixo). Eis a sua prova:

Prova 1. (Euclides) Suponha que há somente uma quantidade finita de primos. Temos, então, todos os $k$ números primos $p_1 = 2, p_2=3,\ldots,p_k$. Considere o inteiro $P = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$. Seja $p$ um divisor primo de $P$. Então $p$ deve ser igual a algum $p_r$. Mas então $p$ é um divisor de $P$ e do produto $ p_1 p_2 \cdots p_k$, logo é um divisor da diferença destes dois números $P -  p_1 p_2 \cdots p_k = 1$. Um absurdo. Portanto deve haver uma quantidade infinita de números primos. $\square$

Neste post, veremos várias outras provas tão memoráveis quanto àquela de Euclides. Tem para todos os gostos. Espero que tomem alguma como sua favorita.

Teorema de Dirichlet.

Ontem assisti uma palestra que o professor Carlos Gustavo (Gugu), do IMPA, apresentou na minha universidade. O tema era "Números Típicos e Aproximações Diofantinas". O ponto de partida da palestra foi o famoso teorema de Dirichlet sobre aproximações diofantinas e o teorema de Hurwitz, que é uma versão mais forte do teorema de Dirichlet. Naquele momento, me lembrei de como uma das provas do teorema de Dirichlet tratava-se de uma das mais belas aplicações do princípio da casa dos pombos que eu já tinha visto. Aliás, costuma-se dizer que foi Dirichlet quem primeiro aplicou o princípio da casa dos pombos de maneira eficiente (seja lá o que isto significa).

Neste post, veremos a prova via princípio da casa dos pombos do teorema de Dirichlet:

Teorema de Dirichlet. Seja $\alpha$ um número irracional. Existem infinitos números racionais $p/q$ tais que
$$\left| \alpha - \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^2}.$$

Em particular, temos que o conjunto dos números racionais $\mathbb{Q}$ é denso na reta bem como o conjunto $\mathbb{Z}[\alpha]$ dos números do tipo $m + n\alpha$, com $m,n$ inteiros, para qualquer $\alpha$ irracional (isto deverá seguir da prova do teorema).

Teorema de Monsky.

Você sabe como dividir um quadrado em dois triângulos de mesma área? Claro que sabe! Dividir um quadrado em três triângulos de mesma área também não deve ser difícil, certo? Espero que você não tenha tentado fazer isto, pois isso não só é difícil como é impossível! Tente dividir o quadrado em quatro triângulos de mesma área. Novamente, isto não parece ser desafiante. Mas tente em cinco pedaços... Em seis... Ok. Você já deve ter chegado a conclusão que em partes pares, o problema não é difícil (veja a figura abaixo), mas em partes ímpares, talvez seja impossível.

De fato, não existe maneira de dividir o quadrado numa quantidade ímpar de triângulos de mesma área. A primeira pessoa a observar isto foi Fred  Richman (1965)[1]. Ele estava preparando um exame de mestrado e queria incluir este problema, mas ele não pode resolvê-lo. Ele então propôs este problema na American Mathematical Monthly. Cinco anos depois, o matemático americano Paul Monsky (foto abaixo) publicou uma prova. Hoje, conhecemos este resultado como Teorema de Monsky.

Teorema de Monsky. Não existe maneira de particionar um quadrado em uma quantidade ímpar de triângulos todos de mesma área.

A prova deste teorema é única. Não se conhece nenhuma outra prova. O mais incrível é que a prova deste teorema de caráter geométrico reúne ideias de teoria dos números, álgebra abstrata e combinatória. De fato, uma das ferramentas chave na prova deste teorema é o conceito de valor $p$-ádico e uma versão da prova do lema de Sperner.  Neste post, veremos tal prova.

O amigo dos números.

Feliz Natal!

Pensei em publicar um post sobre o tão celebrado teorema de Natal de Fermat (Fermat's Christmas Theorem, aquele sobre primos que se escrevem como somas de quadrados). Mas esse é um teorema muito bonito e merece uma preparação de minha parte. Em troca, irei postar aqui uma entrevista da revista Ciência Hoje com o especialista em teoria dos números, Paulo Ribenboim (foto abaixo), matemático brasileiro de maior renome internacional.

Teorema de Toeplitz e aplicações.

Considere o seguinte clássico problema sobre sequências:

Problema 1. Seja $\{z_n\}$ uma sequência convergente de números reais com $\lim_{n\to\infty} z_n = z$. Mostre que $$\lim_{n\to\infty} \frac{z_1 + z_2 + \ldots + z_n}{n} = z.$$

Neste post, mostraremos um resultado mais geral do que o do Problema 1 devido a Otto Toeplitz (figura abaixo), um matemático alemão que viveu entre as décadas de 1880 e 1940.

Teorema 1. (Toeplitz) Sejam $\{\alpha_{mn}\}$ uma sequência dupla de números complexos e $A>0$ um número real positivo tais que

1. $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} |\alpha_{mn}| \leq A}$, para todo $m\geq1$.
2. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} = 1}$.
3. $\displaystyle{\lim_{m\to\infty} \alpha_{mn} = 0}$, para todo $n\geq1$.

Se a sequência de números complexos $\{z_n\}$ converge para $z$, então a série $$\sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n$$ converge para todo $m\geq1$ e temos que
$$\lim_{m\to\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \alpha_{mn} z_n = z.$$