Sólidos Platônicos.

Com certeza, todo mundo já se deparou com os sólidos Platônicos. Pra refrescar a sua memória, temos abaixo tais sólidos. Um sólido Platônico é um poliedro cujas as suas faces são congruentes dois a dois e cada vértice contém o mesmo número de arestas incidentes. O leitor pode verificar rapidamente que em cada um dos poliedros abaixo, cada um de seus vértices contém o mesmo número de arestas incidentes. Já a afirmação de que suas faces são congruentes dois a dois exige um pouco mais, mas podemos ao menos verificar que o número de arestas são iguais em cada face de cada poliedro.

Desde os tempos dos gregos antigos já se sabiam que os únicos poliedros platônicos são aqueles da figura. No livro Elementos de Euclides já se encontrava uma descrição matemática das propriedades destes sólidos (Livro XIII, proposições 13 – 18). 

Neste post, daremos uma demonstração de que os únicos sólidos Platônicos são estes cinco. Para tal prova, iremos assumir a fórmula de Euler: $V – E + F = 2$, onde $V$ é o número de vértices de um poliedro conexo, $E$ é o número de arestas e $F$ é o número de faces. Eu prometo que logo publicarei uma demonstração desta fórmula.

Abaixo, temos uma tabela com os valores de $A$, $V$ e $F$ para os sólidos Platônicos.

Vamos agora a o teorema.

Teorema (da classificação dos sólidos Platônicos). Os únicos sólidos Platônicos são aqueles listados anteriormente.

Demonstração. Considere um sólido Platônico qualquer. O número de arestas incidentes num vértice deve ser igual pra todos os vértices deste sólido (afinal, sólidos Platônicos devem ter esta propriedade). Digamos que todo vértice é incidente com $m$ arestas. Então temos que $E = \frac{mV}{2}$: cada vértice contribui com $m$ arestas, mas cada aresta é contribuída por dois vértices. 

O número de arestas em cada face do sólido deve ser igual, qualquer se seja a face (esta é a outra propriedade que um sólido Platônico deve ter). Seja, então, $n$ o número de arestas sobre cada uma das faces. Temos, então, que $E = \frac{nF}{2}$: cada face contribui com $n$ arestas, mas cada aresta está em duas faces.

Aplicando a fórmula de Euler, temos que

$$V – E + F = \frac{2E}{m} – E + \frac{2E}{n} = 2.$$

Isolando $E$ nesta fórmula, obtemos

$$E = \left( \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{2}\right)^{-1}.$$

Como o número de arestas deve ser um inteiro positivo, devemos ter que

$$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} - \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow  2(m+n) > mn$$ 

Por outro lado, devemos ter $n\geq 3$ (uma face tem pelo três arestas) e  $m\geq3$ (um vértice tem pelo menos três arestas). Não é difícil concluir (ou seja, deixamos a cargo do leitor a verificação) que os únicos pares de inteiros positivos $m,n\geq 3$ tais que $2(m+n) > mn$ são $\{3,3\}, \{3,4\}, \{3,5\}$. Logo temos cinco possibilidades,

1. $m = 3,\;n = 3\Rightarrow E = 6,\; V=4,\; F = 4$ (tetraedro);
2. $m = 3,\;n = 4\Rightarrow E = 12,\; V=8,\; F = 6$ (hexaedro);
3. $m = 3,\;n = 5\Rightarrow E = 30,\; V=20,\; F = 12$ (dodecaedro);
4. $m = 4,\;n = 3\Rightarrow E = 12,\; V=6,\; F = 8$ (octaedro);
5. $m = 5,\;n = 3\Rightarrow E = 30,\; V=12,\; F = 20$ (icosaedro).

$\square$

Referências:
[1] Richard Courant, Herbert Robbins, Ian Stewart; What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods. 2nd ed., Oxford, 1996.