Três massas e três molas sobre um aro.

Neste post, veremos um problema que pode ser encontrado na referência [1]. Trata-se de uma aplicação da equação de Euler-Lagrange.

Problema. (Columbia, Stony Brook, MIT) Três esferas, cada uma de massa $m$, estão conectadas por molas idênticas de massas desprezíveis e de constante de elasticidade $k$ e postas sobre um aro circular como na figura abaixo. O aro está fixado no espaço. Despreze a gravidade e a fricção. Este sistema deve sofrer uma pertubação. Determine a frequência de oscilação do sistema.

Aplicações da Equação de Euler-Lagrange: pêndulo com suporte livre.

O formalismo Lagrangiano tem permitido a determinação da equação do movimento de muitos sistemas físicos de maneira menos trabalhosa do que o formalismo Newtoniano. Neste post veremos mais uma aplicação da equação de Euler-Lagrange.

Considere o sistema constituído de um pêndulo simples de massa $m$ e corda de comprimento $l$ pendurada em um suporte com massa $M$ e que é livre de se mover ao longo do eixo horizontal (veja figura abaixo). O ângulo $\theta$ entre a corda e o eixo vertical junto da posição $x$ do suporte ao longo do eixo horizontal determinam completamente a posição do sistema, de modo que o par $(\theta,x)$ é uma coordenada generalizada adequada para o sistema.

Aplicações da Equação de Euler-Lagrange: sistema barra-mola.

No último post falei sobre a Equação de Euler-Lagrange. Neste post darei um exemplo onde aplicamos a equação de Euler-Lagrange para determinar a equação do movimento de um sistema físico.

No esquema da figura abaixo, vemos uma barra homogênea de massa $m$ e comprimento $l$ pendurada numa mola suspensa de constante de elasticidade $k$. A mola está no interior de uma calha de altura $l_0$ de modo a evitar qualquer movimento que não seja vertical. A barra pode oscilar em torno do ponto $A$.

Sobre Mecânica Lagrangiana e a Equação de Euler-Lagrange.

Mecânica Lagrangiana é uma reformulação da mecânica clássica baseado no princípio da ação estacionária de Hamilton. Tal formalismo tem se mostrado mais adequado do que o formalismo Newtoniano quando aplicado em problemas mais complexos, uma vez que ele não exige a identificação das forças envolvidas no sistema.

Neste post veremos como o método Lagrangiano pode se aplicado de modo a determinar a equação do movimento de sistemas físicos. 

Um sistema de coordenadas generalizadas é um conjunto de parâmetros $q_1,q_2,\ldots,q_s$ pelos os quais é possível determinar completamente a posição de um sistema. Dizemos que $s$ é o grau de liberdade do sistema. Por exemplo, uma partícula se movendo ao longo de um toro pode ter sua posição determinada por dois parâmetros (como?). Um pêndulo pode ser determinado por um único parâmetro, o ângulo com o qual ele faz com um eixo fixo.

Compartilhando segredos com Alice e Bob.

Alice e Bob querem compartilhar segredos entre eles. Como poderão fazer isto de maneira segura? Neste post veremos um pouco sobre criptografia e mostraremos como Teoria dos Números pode nos ajudar nessa história.

Criptografia é o campo de estudo dos métodos de transmissão de informações com segurança. Ou seja, estamos interessados em enviar mensagens de maneira segura. Dizemos que uma informação é transmitida com segurança se toda fonte não autorizada é incapazes de obter acesso à informação transmitida.

Para fins técnicos, assumiremos que uma mensagem é uma sequência numérica. Emissor é aquele que está interessado em compartilhar uma mensagem e receptor é aquele que está autorizado a ter acesso ao conteúdo da mensagem. Um interlocutor é um emissor ou um receptor. No nosso caso, Alice quer enviar uma mensagem para Bob. Portanto, iremos nos referir ao emissor como Alice e ao receptor como Bob.

Um método de encriptação é uma maneira de codificar (ou criptografar) a mensagem de tal modo que seja possível reobter a mensagem original por um processo de decodificação. Num método de encriptação, o responsável pela codificação é o emissor, o qual se usa de uma chave de codificação para codificar a mensagem; enquanto o responsável pela decodificação é o receptor, o qual usa uma chave de decodificação para decodificar a mensagem. De modo geral, tal processo se dá por meio de um algoritmo, o qual chamamos de algoritmo de encriptação ou cifra. Classicamente, existem dois tipos de cifra: o de chave simétrica (ou chave privada) e o de chave assimétrica (ou chave pública).

Sobre primos em progressões aritméticas.

É um fato bem conhecido que existem infinitos números primos. Contudo, os primos parecem possuir uma distribuição bastante aleatória. Talvez por isso é que este conjunto de números tenha se tornado tão interessante, sendo fonte de diversos problemas em teoria dos números.

Um dos problemas mais celebrados sobre os números primos é o de determinar progressões aritméticas (P.A.) contendo uma infinidade de números primos. Por exemplo, a progressão aritmética dos números ímpares, i.e., o conjunto $\{2n+1;n\in\mathbb{N}\}$, contém uma infinidade de números primos. Na verdade, apenas um único número primo não pertence a esta P.A., o número 2. Uma P.A. talvez mais interessante é aquela formada por números do tipo $4n+3$, i.e., o conjunto dos números

$$\textbf{3},\textbf{7},\textbf{11},15,\textbf{19},\textbf{23},27,\textbf{31},35,39,\textbf{43}\ldots.$$

De fato, podemos provar que este conjunto possui uma infinidade de números primos:

Proposição 1. Existem infinitos primos da forma $4n+3$, onde $n$ é um número natural.