Relação de Euler (prova geométrica).

No último post (confira), provamos a relação de Euler usando grafos. Neste post, provaremos usando geometria.

Teorema (da relação de Euler). Se $P$ é um poliedro com $V$ vértices, $E$ arestas e $F$ faces, então vale que $$V-E+F = 2.$$

Para a prova do teorema, iremos usar o seguinte

Lema. Todo poliedro pode ser triangularizado de maneira tal que $V - E + F$ se mantenha constante.

Demonstração. Seja $P$ um poliedro qualquer. Suponha que $P$ não seja triangularizado. Seja $f$ uma face não-triangular e suponha que o número de arestas em $f$ é $n$.

Considere um vértice $v$ de $f$. Para cada vértice de $f$ diferente de $v$ e não-adjacente a $v$, trace uma nova aresta ligando $v$ a tal vértice. Como existem $n-3$ tais vértices, adicionaremos $n-3$ arestas. Isto nos dá uma triangularização de $f$. Além disso, $n-3$ faces foram adicionadas, pois cada vez adicionamos uma aresta, uma face existente é repartida em duas.

Como o processo acima não adiciona nenhum vértice e a quantidade de arestas adicionadas é igual a quantidade de faces adicionadas, temos que $V-E+F$ não se altera. Uma vez que fazemos isto para qualquer face não-triangular de $P$, podemos triangularizar todas as faces não-triangulares de $P$ de modo que $V - E + F$ não se altera. Isto conclui a prova do lema.

$\square$

O lema acima nos permite provar o teorema somente para a classe dos poliedros triangularizados. Sim, pois se $P$ é um poliedro qualquer, se tivermos que a relação de Euler é valida para uma triangularização de $P$, teremos ela também é válida para $P$, já que o lema nos assegura que $V-E+F$ não se altera na triangularização $P$. Então, iremos provar o teorema apenas para poliedros triangularizados.

Agora podemos partir para a prova do teorema.

Demonstração. Seja $P$ um poliedro triangularizado com $V$ vértices, $E$ arestas e $F$ faces. Provamos por indução em $F$, o número de faces do poliedro. O menor número de faces de um poliedro é 4, e o poliedro triangularizado com 4 faces é o tetraedro. Daí, a relação de Euler é verificada neste caso.

Suponha que $F>4$ e que a relação de Euler é válida para todo poliedro triangularizado com menos de $F$. Seja $f$ uma face qualquer de $P$. Considere o poliedro $P'$ obtido colapsando os três vértices de $f$ num único vértice.

Temos que $P'$ terá 2 vértices a menos do que $P$ (pois os três vértices de $f$ se tornarão um só), 4 faces a menos (pois além de $f$, as três faces adjacentes a $f$ colapsarão numa única aresta, cada) e 6 arestas a menos (além das 3 arestas de $f$, temos as arestas das faces adjacentes a $f$, na qual cada face compartilhavam uma aresta com $f$ es outras duas arestas de cada face se colapsaram numa só, nos retornando 3 arestas no final do processo).

Como $P'$ tem menos de $F$ faces e ainda é um poliedro triangularizado, a relação de Euler é válida para $P'$. de modo que temos
$$(V-2)-(E-6)+(F-4) = 2$$
que é equivalente a $V-E+F = 2$.

$\square$