Sobre uma identidade de Ramanujan.

O matemático indiano, Srinivasa Ramanujan (foto abaixo), propôs uma vez, no Journal of Indian Mathematical Society, o seguinte problema:

Determinar o valor de $$\sqrt{ 1 + 2\sqrt{ 1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{ 1 + 5\sqrt{1 + \cdots}}}}}.$$

Ele esperou por seis meses que alguém lhe enviasse uma solução. Como ninguém enviou, ele publicou a sua própria solução [1].

Neste post, daremos uma prova analítica de que   $$\sqrt{ 1 + 2\sqrt{ 1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{ 1 + 5\sqrt{1 + \cdots}}}}} = 3.$$

Solução. Considere $f:[1,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ dada por

$$f(x)=\sqrt{ 1 + x\sqrt{ 1 + (x+1)\sqrt{1 + (x+2)\sqrt{ 1 + (x+3)\sqrt{1 + \cdots}}}}}.$$

A primeira pergunta natural é sobre a boa definição de $f$. De fato, truncando as $n$ raízes quadradas $f$, obtemos uma sequência crescente. Tudo que precisamos mostrar é que a sequência é limitada por cima. Mas temos que,

$$f(x) \leq \sqrt{ (1 + x)\sqrt{ (2 + x)\sqrt{(3+x)\cdots}}}$$

$$\leq \sqrt{ 2x\sqrt{ 3x\sqrt{4x\cdots}}} \leq \sqrt{ 2x\sqrt{ 4x\sqrt{8x\cdots}}}$$

$$= 2^{\sum\frac{k}{2^k}} x^{\sum\frac{1}{2^k}} \leq 2^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \cdots} x = 2x$$

Portanto, $f(x)\leq 2x$, para $x\geq 1$. Note que também vale que

$$f(x) \geq \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}} = x.$$

Em particular, $f(x) \geq \frac{1}{2} (x+1)$. Da definição de $f$, temos a equação funcional

$$(f(x))^2 = x f(x+1)+1.$$

Combinando com $$\frac{1}{2} (x+1) \leq f(x+1) \leq 2(x+1),$$

obtemos $$x \cdot \frac{x+1}{2} + 1 \leq (f(x))^2 \leq 2x(x+1) +1,$$

que produz a desigualdade $$\frac{1}{\sqrt{2}}(x+1) \leq f(x) \leq \sqrt{2} (x+1).$$

Repetindo o argumento sucessivamente, obtemos que

$$2^{-\frac{1}{2^n}} (x+1) \leq f(x) \leq 2^{\frac{1}{2^n}}(x+1), \;\text{para $n\geq 1$.}$$

Fazendo $n\rightarrow \infty$, temos que $(x+1) \leq f(x) \leq (x+1)$, logo $f(x) = x + 1$. Em particular, para $x=2$, temos o que queríamos.

$\square$

Referências.

[1] Robert Kanigel. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. 5ªed. Washington Square Press, 1991.