$e$ é irracional.

Neste post, daremos um prova rápida de que $e$ é um número irracional.

Da fórmula da expansão em séries de Taylor da função $f(x) = e^x$, sabemos que

$$e = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \ldots$$

Suponha que $e$ seja racional, i.e., existem $a$ e $b>0$ inteiros tais que $e = \frac{a}{b}$. Seja $n\geq b$ e considere

$$N:= n!\left(e - \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \right).$$

Uma vez que $n!e$ e $\frac{n!}{k!}$ (para $0 \leq k \leq n$) são inteiros, temos que $N$ é um número inteiro positivo. Por outro lado,

$$N = n!\left(e - \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \right) = n!\left(\sum_{k = n+1}^{\infty} \frac{1}{k!} \right) = \sum_{k = n+1}^{\infty} \frac{n!}{k!}.$$

Dado $k>n$, seja $r = n-k$. Temos que

$$\frac{n!}{k!} = \frac{n!}{(n+r)!} = \frac{n!}{n!(n+1)(n+2)\ldots (n+r)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)\ldots (n+r)} \leq \frac{1}{(n+1)^{r}}.$$

Daí,

$$N = \sum_{r = 1}^{\infty} \frac{n!}{(n+r)!} \leq \sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{r}}.$$

Mas sendo o somatório no lado direito da desigualdade acima uma série geométrica, temos que

$$\sum_{r=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^{r}} = \frac{1}{n}.$$

Portanto, $N \leq \frac{1}{n}$, para todo $n\geq b \geq 1$, contradizendo o fato de $N$ ser inteiro positivo.

$\square$

Referências:

[1] Martin Aigner, Günter M. Ziegler; As porvas estão n'O LIVRO. Editora Edgard Blücher, 2002.