Teorema da Bandeira Britânica

Neste post, quero apresentar um belo teorema em Geometria Euclidiana Plana que recebe o nome de Teorema da Bandeira Britânica. Este teorema nos diz que a soma das áreas dos quadrados vermelhos da figura abaixo é igual a soma das áreas dos quadrados azuis e isto continuaria valendo se movêssemos o pontinho preto no interior do retângulo para qualquer outro lugar ainda dentro do retângulo.

Teorema (da Bandeira Britânica). Seja $ABCD$ um retângulo. Dado um ponto $P$ qualquer dentro de $ABCD$, temos que

$${AP}^2+{CP}^2={BP}^2+{DP}^2.$$

Demonstração. Trace uma perpendicular partindo de $P$ para cada lado do retângulo. Sejam $P_{AB}$,  $P_{BC}$,  $P_{CD}$ e  $P_{DA}$ os pontos onde tais perpendiculares intersectam cada um dos lados do retângulo. Pelo o Teorema de Pitágoras, temos que

$$AP^2 + CP^2 = (AP_{AB}^2 + P_{AB}P^2) + (CP_{CD}^2 + P_{CD}P^2).$$

Por outro lado,

$$BP^2 + DP^2 = (BP_{BC}^2 + P_{BC}P^2) + (DP_{DA}^2 + P_{DA}P^2). $$

Mas valem as seguinte identidades:

$$ AP_{AB} = P_{DA}P $$

$$P_{AB}P = BP_{BC} $$

$$CP_{CD} = P_{BC}P$$

$$P_{CD}P = DP_{DA}$$

Daí segue que

$${AP}^2+{CP}^2={BP}^2+{DP}^2.$$

$\square$

Este teorema recebe este nome por causa da sua demonstração que sugere rapidamente a bandeira britânica, se escolhermos $P$ para ser o centro do retângulo.

O leitor pode verificar que na prova do teorema acima, nada usamos do fato de que $P$ está na região interna do retângulo $ABCD$. De fato, este resultado é válido para um ponto $P$ em qualquer lugar do plano e a prova é a mesma. 

Este teorema pode ser pensado como uma generalização do Teorema de Pitágoras, uma vez que o Teorema de Pitágoras pode ser visto como um caso particular deste: basta escolher o ponto $P$ como um dos vértices do retângulo $ABCD$.