Todo mundo já deve conhecer a prova de que \sqrt{2} é irracional. Se não, deixe eu fazê-la: suponha que \sqrt{2} é racional. Então existem a e b>0 inteiros primos entre si com \sqrt{2}=\frac{a}{b}. Elevando esta última identidade ao quadrado e multiplicando por b^2, temos que 2b^2 = a^2. Logo a^2 é par. Como a raiz quadrada de um número par ainda é par, temos que a é par. Então podemos escrever a como a = 2c. Substituindo isto na última equação destacada, temos 2b^2= 4c^2, logo b^2 = 2c^2. E portanto, b^2 é par, logo b também é. Neste ponto, chegamos num absurdo! Sim, pois concluímos que se \sqrt{2}=\frac{a}{b} é de fato um número racional, então a e b são pares, logo 2 divide tanto a quanto b, contradizendo o fato de a e b serem primos entre si.
Neste post queremos dar uma outra prova de que \sqrt{2} é irracional. Mas para isto iremos provar um resultado mais forte:
Teorema. Se um número real x satisfaz a equaçãox^n + c_1x^{n-1} + \cdots + c_n = 0com coeficientes inteiros, então ou x é inteiro ou x é irracional.
Em outras palavras, não existe racional não-inteiro que seja raiz de um polinômio mônico com coeficientes inteiros.
Demonstração. Seja x = \frac{a}{b} um número racional com a e b>0 inteiros primos entre si. Suponha que x satisfaça a equação. Então devemos ter
\left (\frac{a}{b}\right)^n + c_1 \left (\frac{a}{b}\right)^{n-1} + c_2 \left (\frac{a}{b}\right)^{n-2} + \cdots + c_n = 0.
Ou, equivalentemente,
a^n =- b^{n}\left[c_1 \left (\frac{a}{b}\right)^{n-1} + c_2\left (\frac{a}{b}\right)^{n-2} + \cdots + c_n\right].
Por fim,
a^n = -b(c_1a^{n-1} + c_2 a^{n-2} b + \cdots + c_nb^{n-1}).
Logo, b|a^n. Suponha que b>1, então seja p um primo que divide b, logo p|a^n, e portanto p|a. Mas isso contradiz o fato de a e b serem primos entre sí, logo só podemos ter b = 1. Portanto x é um número inteiro.
\square
Como consequência deste teorema, temos o seguinte
Demonstração. Seja x = \sqrt[n]{m}. Temos que x^n - m = 0, logo, pelo teorema, ou x é inteiro ou x é irracional. Como m = x^n, temos que x não pode ser inteiro, pois m seria uma n-ésima potência de um inteiro. Logo x é irracional.Corolário. Se m é um inteiro positivo o qual não é a n-ésima potência de um inteiro, então \sqrt[n]{m} é irracional.
\square
Como aplicação do corolário, \sqrt[n]{p} é irracional, para qualquer primo p. Em particular, \sqrt{2} é irracional.
Nenhum comentário:
Postar um comentário
Use cifrões para inserir um comando TeX. Por exemplo: "Afirmo que \$ \sqrt {2} \$ é irracional".