$\sqrt{2}$ é irracional.

Todo mundo já deve conhecer a prova de que $\sqrt{2}$ é irracional. Se não, deixe eu fazê-la: suponha que $\sqrt{2}$ é racional. Então existem $a$ e $b>0$ inteiros primos entre si com $$\sqrt{2}=\frac{a}{b}.$$ Elevando esta última identidade ao quadrado e multiplicando por $b^2$, temos que $$2b^2 = a^2.$$ Logo $a^2$ é par. Como a raiz quadrada de um número par ainda é par, temos que $a$ é par. Então podemos escrever $a$ como $a = 2c$. Substituindo isto na última equação destacada, temos $$2b^2= 4c^2,$$ logo $b^2 = 2c^2$. E portanto, $b^2$ é par, logo $b$ também é. Neste ponto, chegamos num absurdo! Sim, pois concluímos que se $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ é de fato um número racional, então $a$ e $b$ são pares, logo 2 divide tanto $a$ quanto $b$, contradizendo o fato de $a$ e $b$ serem primos entre si.

Neste post queremos dar uma outra prova de que $\sqrt{2}$ é irracional. Mas para isto iremos provar um resultado mais forte:

Teorema. Se um número real $x$ satisfaz a equação

$$x^n + c_1x^{n-1} + \cdots + c_n = 0$$

com coeficientes inteiros, então ou $x$ é inteiro ou $x$ é irracional.

Em outras palavras, não existe racional não-inteiro que seja raiz de um polinômio mônico com coeficientes inteiros.

Demonstração. Seja $x = \frac{a}{b}$ um número racional com $a$ e $b>0$ inteiros primos entre si. Suponha que $x$ satisfaça a equação. Então devemos ter

$$\left (\frac{a}{b}\right)^n + c_1 \left (\frac{a}{b}\right)^{n-1} + c_2 \left (\frac{a}{b}\right)^{n-2} + \cdots + c_n = 0.$$

Ou, equivalentemente,

$$ a^n =- b^{n}\left[c_1 \left (\frac{a}{b}\right)^{n-1} + c_2\left (\frac{a}{b}\right)^{n-2} + \cdots + c_n\right]. $$

Por fim,

$$ a^n = -b(c_1a^{n-1} + c_2 a^{n-2} b + \cdots + c_nb^{n-1}).$$

Logo, $b|a^n$. Suponha que $b>1$, então seja $p$ um primo que divide $b$, logo $p|a^n$, e portanto $p|a$. Mas isso contradiz o fato de $a$ e $b$ serem primos entre sí, logo só podemos ter $b = 1$. Portanto $x$ é um número inteiro.

$\square$

Como consequência deste teorema, temos o seguinte

Corolário. Se $m$ é um inteiro positivo o qual não é a $n$-ésima potência de um inteiro, então $\sqrt[n]{m}$ é irracional.

Demonstração. Seja $x = \sqrt[n]{m}$. Temos que $x^n - m = 0$, logo, pelo teorema, ou $x$ é inteiro ou $x$ é irracional. Como $m = x^n$, temos que $x$ não pode ser inteiro, pois $m$ seria uma $n$-ésima potência de um inteiro. Logo $x$ é irracional.
$\square$

Como aplicação do corolário, $\sqrt[n]{p}$ é irracional, para qualquer primo $p$. Em particular, $\sqrt{2}$ é irracional.